一般的には内定と思ってよいと思います。

ただ、新卒ではないので、あえて内定といってこないのであれば、ちょっと「？」とは思います。

遅くとも翌日には、内定通知書なり、採用条件の確定版を送ってこないようですと、もしかしたらほかにも選考に残っている他の方がいらっしゃって、その方と迷っている、ということもあるのかな？と思わなくもないです。

大吉さんにとって、第1志望の会社であれば、内定なのかどうなのかは、待てないようであれば聞いてみてもよいかとは思います（あいまいなままというのも気持ち悪いですしね。。）

私の知ってる限りでは、内定しているのに、内定なのかどうなのかあいまいにして先延ばしにするというケースはあまりありませんでした（そうすることで、他社にいってしまうというリスクも企業側にはあるため）

ご参考まで。 

良い方向である可能性が高いです。良かったですね！